Бутылка Клейна – жемчужина четвертого измерения
Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. По-видимому, название происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью.
Бутылка Клейна – топологический объект, является односторонней поверхностью и обладает топологическими свойствами.
Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.
К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:
1. хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6.
2. непрерывность. Если сравнить схему самолётных маршрутов и географическую карту, то можно сделать вывод , что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна рядом другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.
3. ориентированность. Если « пропутешествовать» по всем изгибам бутылки и вернутся в исходную точку, то превратишся в своё собственное зеркальное отображение.
4. односторонность
Бутылка Клейна Лист Мёбиуса
1. Хроматический номер = 1. Хроматический номер
2. Непрерывность = 2. Непрерывность
3. Ориентированность = 3. Ориентированность
4. Односторонность = 4. Односторонность
Кроме того…
-
Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым (локальное евклидово пространство, наделенное дифференциальной структурой) неориентируемым многообразием. Многообразие — топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
-
Поэтому Бутылка Клейна не может быть вложена в трёхмерное, но вкладывается в четырёхмерное пространство.
Работая над проектом, мной получена только модель бутылки Клейна, потому что в обычном трехмерном пространстве сделать настоящую бутылку, не создав самопересечения, невозможно
3.Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. И опять надо отметить, что в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
4.Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса.
